Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Es sei ${\displaystyle n>2}$ eine natürliche Zahl. Dann ist der ${\displaystyle n}$-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n})}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, die durch Adjunktion der Menge ${\displaystyle \mu _{n}}$ aller ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzeln entsteht.

• Ist ${\displaystyle \zeta _{n}}$ eine primitive ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von ${\displaystyle \zeta _{n}}$ das ${\displaystyle n}$-te Kreisteilungspolynom ${\displaystyle \Phi _{n}}$, deshalb ist

${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n})=\mathbb {Q} (\zeta _{n})\cong \mathbb {Q} [T]/(\Phi _{n}(T)).}$

Insbesondere ist der Erweiterungsgrad ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\mu _{n}):\mathbb {Q} ]=\varphi (n)}$ mit der eulerschen φ-Funktion.^[1]

• Zwei Kreisteilungskörper ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n})}$ und ${\displaystyle \mathbb {Q} \mathbb {(} \mu _{m})}$ mit ${\displaystyle n<m}$ sind genau dann gleich, wenn ${\displaystyle n}$ ungerade ist und ${\displaystyle m=2n}$ gilt.

• Die Adjunktion der ${\displaystyle m}$-ten Einheitswurzeln zu ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n})}$ ergibt ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{N})}$ mit ${\displaystyle N=\mathrm {kgV} (m,n).}$

• Die Erweiterung ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n})|\mathbb {Q} }$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times };}$ ist ${\displaystyle \zeta _{n}}$ eine primitive ${\displaystyle n}$-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element ${\displaystyle k\in (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ der durch

${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{k}}$

definierte Automorphismus von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n}).}$^[1]

• Der Ganzheitsring von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{n})}$ ist ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ mit einer beliebigen primitiven ${\displaystyle n}$-ten Einheitswurzel ${\displaystyle \zeta _{n}}$.^[2]

• Insbesondere ist der Ganzheitsring von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{4})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})}$ gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mu _{3})=\mathbb {Q} (\mu _{6})=\mathbb {Q} ({\sqrt {-3}})}$ ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Die Diskriminante von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ für ${\displaystyle n>2}$ ist^[3]

${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{n})}=(-1)^{\frac {\varphi (n)}{2}}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\prod _{p\mid n}p^{\frac {\varphi (n)}{p-1}}}}.}$

Die in ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$, wenn sie ein Teiler von ${\displaystyle n}$ ist. Die ${\displaystyle 2}$ ist genau dann verzweigt, wenn ${\displaystyle 4\mid n}$. Eine Primzahl ${\displaystyle p}$ ist genau dann voll zerlegt, wenn ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {n}}}$ gilt.^[4]

Ist ${\displaystyle n=\ell ^{\nu }>2}$ eine Primzahlpotenz, so ist ${\displaystyle \ell }$ die einzige verzweigte Primzahl in ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{\ell ^{\nu }})}$. ${\displaystyle \ell }$ ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle 1-\zeta _{\ell ^{\nu }}}$ ein Element mit Norm ${\displaystyle \ell }$ ist. Das einzige Primideal über ${\displaystyle \ell }$ ist also das Hauptideal, das von ${\displaystyle 1-\zeta _{\ell ^{\nu }}}$ erzeugt wird:

${\displaystyle (\ell )=(1-\zeta _{\ell ^{\nu }})^{\ell ^{\nu -1}(\ell -1)}.}$

Für die Diskriminante ergibt sich ${\displaystyle \Delta _{\mathbb {Q} (\zeta _{\ell ^{\nu }})}=\pm \ell ^{\ell ^{\nu -1}(\nu \ell -\nu -1)}}$.^[5]

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Die Klassenzahl ${\displaystyle h_{n}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren ${\displaystyle h_{n}^{+}}$ und ${\displaystyle h_{n}^{-}}$.^[6] Hierbei ist ${\displaystyle h_{n}^{+}}$ die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})^{+}=\mathbb {Q} (\zeta _{n}+\zeta _{n}^{-1})}$ und ${\displaystyle h_{n}^{-}:=h_{n}/h_{n}^{+}}$ die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe ${\displaystyle C_{n}^{+}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})^{+}}$ kann als Untergruppe der Idealklassengruppe ${\displaystyle C_{n}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ aufgefasst werden.^[7]

Die Relativklassenzahl ${\displaystyle h_{n}^{-}}$ kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.^[8]

Die Klassenzahl ${\displaystyle h_{n}}$ von ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass ${\displaystyle h_{n}\to \infty }$ für ${\displaystyle n\to \infty }$. Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl ${\displaystyle 1}$.^[9] Die vollständige Liste aller ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle h_{n}=1}$ lautet^[10]

${\displaystyle 1,2,3,\dots ,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90.}$

In genau diesen Fällen ist ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{n}]}$ ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung^[11] sagt voraus, dass die Primzahl ${\displaystyle p}$ kein Teiler von ${\displaystyle h_{p}^{+}}$ ist.

• Serge Lang: Cyclotomic Fields I and II (= Graduate Texts in Mathematics. 121). Combined 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1990, ISBN 3-540-96671-4.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. 83). Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-90622-3 (2nd edition. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0).
• Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. 32). Springer, Basel 1966, ISBN 978-3-0348-6945-4.

• Eric W. Weisstein: Cyclotomic Field. In: MathWorld (englisch).
• L.V. Kuz’min: Cyclotomic field. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). Vorlage:EoM/id

1. ↑ ^{a b} Washington: Theorem 2.5 (S. 11 in der Google-Buchsuche).
2. ↑ Neukirch: Satz I.10.2.
3. ↑ Washington: Proposition 2.7 (S. 12 in der Google-Buchsuche).
4. ↑ Neukirch: Korollar I.10.4.
5. ↑ Neukirch: Lemma I.10.1.
6. ↑ Nach Washington, Theorem 4.10 (S. 39 in der Google-Buchsuche) ist ${\displaystyle h_{n}^{+}}$ ein Teiler von ${\displaystyle h_{n}}$.
7. ↑ Washington: Theorem 4.14.
8. ↑ Washington: Theorem 4.17.
9. ↑ Washington: Theorem 4.20 (S. 45 in der Google-Buchsuche).
10. ↑ Washington: Theorem 11.1. – Die Liste wurde durch Doppelungen im Fall ${\displaystyle n\equiv 2\mod 4}$ ergänzt.
11. ↑ Borewicz, Šafarevič: S. 243 in der Google-Buchsuche.