Ogawa-Integral

Das Ogawa-Integral (auch nicht-kausales stochastisches Integral) ist ein stochastischer Integralbegriff für nicht-adaptierte Prozesse als Integranden. Um den entsprechenden Kalkül von dem des Skorochod-Integrals zu unterscheiden, spricht man vom nicht-kausalen Kalkül beim Ogawa-Integral und vom vorwegnehmenden (englisch anticipating) Kalkül beim Skorochod-Integral. Mit dem Begriff Kausalität meint man hier die Adaptiertheit an die natürliche Filtration des Wiener-Prozesses und dessen physikalische Interpretation. Ein nicht-adaptierter Prozess kann zu einem fixen Zeitpunkt auch von den zukünftigen Realisationen des Wiener-Prozesses abhängen. Ein anschauliches Beispiel für letzteres aus der Finanzmathematik wäre der Insiderhandel. Der Trader weiß im Voraus, wohin sich der Wiener-Prozess bewegt. Ein weiteres Beispiel wäre das Integral

${\displaystyle \int _{0}^{1}W_{1}dW_{t},}$

wobei ${\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,1]}}$ der Wiener-Prozess ist. Dies ist kein Itō-Integral, da der Integrand dem Integrator voraus ist und somit nicht an seine Filtration adaptiert sein kann.

Das Integral wurde 1979 von dem japanischen Mathematiker Ogawa Shigeyoshi eingeführt.^[1]

Sei

• ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum,
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{t\in [0,T]}}$ ein eindimensionaler Standard-Wienerprozess mit ${\displaystyle T\in \mathbb {R} _{+}}$,
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}^{W}=\sigma (W_{s};0\leq s\leq t)\subset {\mathcal {F}}}$ und ${\displaystyle \mathbf {F} ^{W}=\{{\mathcal {F}}_{t}^{W},t\geq 0\}}$ die natürliche Filtration,
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,T])}$ die borelsche σ-Algebra,
• ${\displaystyle \int f\;dW_{t}}$ ist das Itō-Integral (resp. Wiener-Integral),
• ${\displaystyle dt}$ das Lebesgue-Maß.

Mit ${\displaystyle \mathbf {H} }$ bezeichnen wir die Menge der reellwertigen Prozesse ${\displaystyle X\colon [0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$, welche ${\displaystyle {\mathcal {B}}([0,T])\times {\mathcal {F}}}$-messbar und fast sicher in ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$ sind, das bedeutet

${\displaystyle P\left(\int _{0}^{T}|X(t,\omega )|^{2}dt<\infty \right)=1.}$

Sei ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ eine vollständige Orthonormalbasis des Hilbert-Raumes ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$.

Ein Prozess ${\displaystyle X\in \mathbf {H} }$ heißt ${\displaystyle \varphi }$-integrierbar, falls die zufällige Reihe

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }W_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dW_{t}}$

in Wahrscheinlichkeit konvergiert. Wir nennen dieses Summe das Ogawa-Integral bezüglich der Basis ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$.

Falls ${\displaystyle X}$ bezüglich jeder vollständigen Orthonormalbasis von ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$ ${\displaystyle \varphi }$-integrierbar ist und die Werte der Integrale übereinstimmen, dann nennt man ${\displaystyle X}$ universell Ogawa-integerierbar (oder u-integrierbar).^[2]

Das Ogawa-Integral kann auch bezüglich allgemeineren ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,P)}$-Prozessen ${\displaystyle Z_{t}}$ (wie zum Beispiel der gebrochenen Brownschen Bewegung) gebildet werden

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}d_{\varphi }Z_{t}:=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(\int _{0}^{T}X_{t}\varphi _{n}(t)dt\right)\int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t},}$

sofern die Integrale

${\displaystyle \int _{0}^{T}\varphi _{n}(t)dZ_{t}}$

definiert sind.^[2]

• Die Konvergenz der Reihe hängt von der Wahl der Orthonormalbasis sowie von der Reihenfolge der Basis ab.
• Es existieren verschiedene äquivalente Definition, welche sich in (^[3]) finden lassen. Eine Möglichkeit ist unter Verwendung des Satzes von Itō-Nisio.

Eine Orthonormalbasis ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ heißt regulär, falls

${\displaystyle \sup \limits _{n}\int _{0}^{T}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\varphi _{i}(t)\int _{0}^{t}\varphi _{i}(s)ds\right)^{2}dt<\infty .}$

Der Ausdruck in der Klammer muss also für alle ${\displaystyle n}$ eine endliche ${\displaystyle L^{2}([0,T],dt)}$-Norm besitzen.

Folgende Resultate sind bekannt:

• Jedes Semimartingal (kausal oder nicht) ist genau dann ${\displaystyle \varphi }$-integrierbar, wenn ${\displaystyle \{\varphi _{n}\}}$ regulär ist.^[4]
• Es wurde gezeigt, dass eine nicht-reguläre Basis für ${\displaystyle L^{2}([0,1],dt)}$ existiert.^[5]

• Es existiert eine nicht-kausale Itō-Formel^[6], eine nicht-kausale Partielle-Integrations-Formel und eine nicht-kausaler Satz von Girsanow^[7].
• Das Ogawa-Integral für mehrdimensionale Wiener-Prozesse wird in (^[8]) untersucht.

• Stratonowitsch-Integral: Sei ${\displaystyle X}$ ein stetiges ${\displaystyle \mathbf {F} ^{W}}$-adaptiertes Semimartingal und universell-Ogawa-integrierbar bezüglich des Wienerprozesses, dann existiert auch das Stratonowitsch-Integral und es stimmt mit dem Ogawa-Integral überein.^[9]
• Skorochod-Integral: Die Beziehungen zwischen dem Ogawa-Integral und dem Skorochod-Integral werden in (^[10]) untersucht.

• Shigeyoshi Ogawa: Noncausal Stochastic Calculus. Hrsg.: Springer. Tokyo 2017, doi:10.1007/978-4-431-56576-5. 

1. ↑ Shigeyoshi Ogawa: Sur le produit direct du bruit blanc par lui-même. In: Gauthier-Villars (Hrsg.): C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. A. Band 288, 1979, S. 359–362. 
2. ↑ ^{a b} Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 238, doi:10.1142/9789812770493_0016. 
3. ↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 239–241, doi:10.1142/9789812770493_0016. 
4. ↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 242–243, doi:10.1142/9789812770493_0016. 
5. ↑ Pietro Majer und Maria Elvira Mancino: A counter-example concerning a condition of Ogawa integrability. In: Séminaire de probabilités de Strasbourg. Band 31, 1997, S. 198–206 (numdam.org). 
6. ↑ Shigeyoshi Ogawa: Noncausal stochastic calculus revisited – around the so-called Ogawa integral. In: Advances in Deterministic and Stochastic Analysis. 2007, ISBN 978-981-270-550-1, S. 250, doi:10.1142/9789812770493_0016. 
7. ↑ Shigeyoshi Ogawa: BPE and a Noncausal Girsanov’s Theorem. In: Sankhya A. Band 78, 2016, S. 304–323, doi:10.1007/s13171-016-0087-x. 
8. ↑ Nicolò Cangiotti und Sonia Mazzucchi: Notes on the Ogawa integrability and a condition for convergence in the multidimensional case. 2008, arxiv:1809.01370 [abs]. 
9. ↑ David Nualart und Moshe Zakai: On the Relation Between the Stratonovich and Ogawa Integrals. In: The Annals of Probability. Band 17, Nr. 4, 1989, S. 1536–1540, doi:10.1214/aop/1176991172. 
10. ↑ David Nualart und Moshe Zakai: Generalized stochastic integrals and the Malliavin calculus. In: Probability Theory and Related Fields. Band 73, Nr. 2, 1986, S. 255–280.