Afiinne ruum

Afiinne ruum ehk lineaarne muutkond on ruum on matemaatiline ruum, mille punktide vahelised seosed on määratud igale punktide järjestatud paarile vastavusse seotud vektoriga (mingi vektorruumi elemendiga) nii, et tekivad samalaadsed seosed vektorite ja punktide vahel nagu tavalises geomeetrias.

Tavaline ruum on vaadeldav afiinse ruumina, punktide järjestatud paarile seatakse vastavusse vektor (eukleidilise ruumi kui vektorruumi element), mis "viib" esimesest punktist teise.

Afiinses ruumis saab vektoreid liita ja lahutada, kuid ei saa liita ja lahutada punkte, sest ruumis ei ole ühtset koordinaatteljestikku ehk reeperit.

Afiinsel ruumil on geomeetria süstemaatilises ülesehituses vahepealne seisund eukleidilise ruumi ja projektiivse ruumi vahel.

Kolmemõõtmeline afiinne ruum on, nagu eukleidiline ruumgi, meile tuttava kolmemõõtmelise ruumi matemaatiline mudel, kuid pikkuse, kauguse ja nurga mõiste jäetakse kõrvale.

Laiemas mõttes võib afiinsel ruumil olla mis tahes lõplik mõõde. Afiinne ruum võib olla ka punkt, afiinne sirge, afiinne tasand või siis nelja- või enamamõõtmeline ruum.

Afiinne ruum lineaaralgebras

Definitsioon

Afiinne ruum üle korpuse ${\displaystyle K}$ on hulk ${\displaystyle A\neq \emptyset }$ (mille elemente nimetatakse punktideks ja käsitatakse geomeetriliselt punktidena) koos kujutusega hulgast ${\displaystyle A\times A}$ teatud kindlasse vektorruumi ${\displaystyle \,V}$ üle korpuse ${\displaystyle K}$ (see kujutus seab igale punktide järjestatud paarile (${\displaystyle \,P}$; ${\displaystyle \,Q}$) vastavusse vektori (vektorruumi ${\displaystyle \,V}$ elemendi) ${\displaystyle \alpha ={\vec {AB}}\in V}$ ning nimetatakse vektoriks algusega punktis P ja lõpuga punktis Q või punktide P ja Q ühendusvektoriks), nii et

1. iga punkti ${\displaystyle P\in A}$ ja vektori ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ korral leidub parajasti üks punkt ${\displaystyle Q\in A}$ nii, et ${\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {PQ}}}$
2. iga kolme punkti ${\displaystyle \,P}$, ${\displaystyle \,Q}$ ja ${\displaystyle \,R}$ korral kehtib võrdus ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {QR}}={\overrightarrow {PR}}}$ (kolmnurgareegel, Chaslesi seos)

^[1]

Järjestatud kolmikut ${\displaystyle (A,V,{\overrightarrow {}})}$ nimetatakae afiinseks ruumiks. Kui on selge, milline vektorruum ${\displaystyle V}$ ja milline noolekujutus on aluseks, räägitakse ka lihtsalt afiinsest ruumist ${\displaystyle A}$. Korpuseks ${\displaystyle K}$ on sageli reaalarvude korpus ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Lükked

Afiinses ruumis on liitmine kui kujutus ${\displaystyle A\times V\to A,\ (P,{\vec {v}})\mapsto P+{\vec {v}},}$ defineeritud sellega, et ${\displaystyle P+{\vec {v}}}$ on just vektoriga ${\displaystyle {\vec {v}}={\overrightarrow {PQ}}}$ üheselt määratud punkt ${\displaystyle Q}$. Kindla ${\displaystyle {\vec {v}}\in V}$ korral nimetatakse juurdekuuluvat kujutust ${\displaystyle T_{\vec {v}}\colon A\to A,\ P\mapsto P+{\vec {v}},}$ lükkeks ehk täpsemalt lükkeks vektori ${\displaystyle {\vec {v}}}$ võrra ja vektorit ${\displaystyle {\vec {v}}}$ nimetatakse siis juurdekuuluvaks lükkevektoriks.

Lükked on alati bijektsioonid. Need moodustavad koos kompositsiooni kui rühmatehtega (vt permutatsioonide rühm) ruumi ${\displaystyle A}$ automorfismide rühma ${\displaystyle \operatorname {Aut} (A)}$ alamrühma ${\displaystyle {T_{\vec {0}}}=\operatorname {id} _{A}}$, kusjuures ${\displaystyle {\vec {v}},{\vec {w}}\in V}$ korral alati ${\displaystyle {T_{\vec {v}}}\circ {T_{\vec {w}}}=T_{{\vec {v}}+{\vec {w}}}}$ ja ${\displaystyle {T_{\vec {v}}}^{-1}=T_{-{\vec {v}}}}$^[2].

Et ${\displaystyle P+{\overrightarrow {PQ}}=Q}$, siis kirjutatakse sageli ka ${\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}$ asemel ${\displaystyle Q-P}$. Siis ${\displaystyle {\vec {v}}=Q-P}$ parajasti siis, kui ${\displaystyle Q=P+{\vec {v}}}$.

Afiinne alamruum

Kui ${\displaystyle P}$ on üks kindel punkt ruumis ${\displaystyle A}$ ja ${\displaystyle U}$ on vektorruumi ${\displaystyle V}$ alamvektorruum, siis ${\displaystyle B=P+U=\{P+{\vec {u}}\mid {\vec {u}}\in U\}}$ afiinne alamruum ehk afiinne osaruum. Afiinse osaruumi ${\displaystyle B}$ juurde kuuluv alamvektorruum ${\displaystyle U}$ on osaruumiga ${\displaystyle B}$ üheselt määratud.

Vektorruumiga ${\displaystyle V}$ afiinse ruumi ${\displaystyle A}$ üle korpuse ${\displaystyle K}$ on defineeritud kui vektorruumi ${\displaystyle V}$ üle ${\displaystyle K}$ mõõde (Hameli mõõde). Sageli on mugav pidada ka tühihulka afiinseks (osa)ruumiks. Sellele osaruumile omistatakse mõõde –1.

Afiinne punktiruum ja selle vastav vektorruum

Kui valida afiinses ruumis ${\displaystyle A}$ kindel alguspunkt ${\displaystyle O\in A}$, saadakse kujutuse abil, mis seab igale punktile ${\displaystyle P\in A}$ vastavusse lükke ${\displaystyle {\overrightarrow {OP}}}$ punkti ${\displaystyle P}$ kohavektori, eine üksühene kujutus afiinse ruumi ja tema lükete vektorruumi (rihiruumi ehk sihiruumi) vahel. Seejuures tuleb tähelepanna, et see punktide ja kohavektorite vaheline vastavus sõltub alguspunkti valikust.

Ümberpöördult saab iga vektorruumi ${\displaystyle V}$ vaadelda afiinse punktiruumina: ${\displaystyle V\times V\to V}$, kus ${\displaystyle ({\vec {v}},{\vec {w}})\mapsto {\vec {w}}-{\vec {v}}}$, on kujujutus, mis seab punktide järjestatud paarile vastavusse nende ühendusvektori. Sellega eraldatakse üks afiinse ruumi punkt ette välja, nimelt vektorruumi nullvektor.

Esimesel juhtumil saab pärast punkti samastamist tema kohavektoriga (sõltuvalt alguspunkti valikust, teisel juhtumil juba ette käsitada liitmist vektorruumis ${\displaystyle V}$s nii, et rühm ${\displaystyle (V,+)}$ toimib lükete rühmana iseendale kui punktihulgale.

Sellepärast loobutakse mõnikord rangest eristusest afiinse punktiruumi ja lükkevektorite vektorruumi vahel.

Näiteid

• ${\displaystyle n}$-mõõtmeline eukleidiline ruum ${\displaystyle E^{n}}$ on afiinne ruum, mille rihiruum on ${\displaystyle n}$-mõõtmeline skalaarkorrutisruum üle reaalarvude korpuse.
• Iga vektorruumi saab käsitada afiinse ruumiga. Nii on ka vektorruumi afiinne alamruum afiinne ruum.
• Mittehomogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahend moodustavad afiinse ruumi, mille rihiruum on vastava homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahendite vektorruum. See kehtib analoogselt ka lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendisüsteemide kohta.

Vaata ka

• afiinne geomeetria

Viited

Välislingid

• Mõnda afiinsest geomeetriast
• Mati Väljas. Analüütiline geomeetria: Afiinne ruum ja eukleidiline punktiruum, 2012