In matematica, la disuguaglianza di Minkowski è una disuguaglianza che porta il nome di Hermann Minkowski. Segue dalla disuguaglianza di Hölder.
La disuguaglianza
Sia
uno spazio di misura con misura
, e sia
. Allora, se
e
sono funzioni misurabili in
si ha:[1]
![{\displaystyle \left(\int _{\Omega }(f+g)^{p}d\mu \right)^{1 \over p}\leq \left(\int _{\Omega }f^{p}d\mu \right)^{1 \over p}+\left(\int _{\Omega }g^{p}d\mu \right)^{1 \over p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211efe2b28bd43da0bd5546e3e6e17b4beb41826)
In modo equivalente:
![{\displaystyle \|f+g\|_{p}\leq \|f\|_{p}+\|g\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1d3de762058656808721fc899c4b223914c6c3f)
Attraverso quest'ultima formulazione, la disuguaglianza di Minkowski si generalizza al caso
. Dalla disuguaglianza di Minkowski segue che
è uno spazio normato, in quanto vale la disuguaglianza triangolare. In particolare,
è uno spazio di Banach per ogni
. Nel caso in cui lo spazio di misura sia l'insieme dei naturali
con la misura del conteggio
, allora per ogni coppia di successioni
e
in
la disuguaglianza di Minkowski si scrive:
![{\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}+b_{i}|^{p}\right)^{1/p}\leq \left(\sum _{i=1}^{\infty }|a_{i}|^{p}\right)^{1/p}+\left(\sum _{i=1}^{\infty }|b_{i}|^{p}\right)^{1/p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17c93c0341ab222d97d6ced459256e38d4a941b7)
Minkowski per gli integrali
Siano
e
due spazi di misura
-finiti, e sia
una funzione
-misurabile. Se
, allora per ogni
![{\displaystyle \left(\int \left(\int f(x,y)d\nu (y)\right)^{p}d\mu (x)\right)^{1 \over p}\leq \int \left(\int f(x,y)^{p}d\mu (y)\right)^{1 \over p}d\nu (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b606a8e2706c28c89a09c8454bc63d9b0efe1271)
In particolare, da ciò ne consegue che se
per quasi ogni
, con
, e se la funzione
sta in
, allora
![{\displaystyle \left\Vert {\int f(\cdot ,y)d\nu (y)}\right\Vert _{p}\leq \int \Vert f(\cdot ,y)\Vert _{p}\,d\nu (y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20cf5e1a64bc4b40fbab79e66442d0bc4d0ad506)
Note
Bibliografia
- (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, Mladinska Knjiga, McGraw-Hill, 1970, ISBN 0-07-054234-1.
- (EN) G. H. Hardy, J. E. Littlewood; G. Pólya, Inequalities, Cambridge, Cambridge Mathematical Library, 1952, ISBN 0-521-35880-9.
Voci correlate
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Disuguaglianza di Minkowski, su MathWorld, Wolfram Research.
![Modifica su Wikidata](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/73/Blue_pencil.svg/10px-Blue_pencil.svg.png)
- (EN) M.I. Voitsekhovskii, Minkowski inequality, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
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