Fasore

In elettrotecnica un fasore è un numero complesso che rappresenta un'onda sinusoidale di una specifica frequenza.^[1] Essendo un numero complesso è rappresentabile nel piano complesso come un vettore sfasato rispetto all'asse reale di un certo angolo o fase, da qui l'origine del termine fasore, parola macedonia composta da fase e vettore. I fasori sono utilizzati dal metodo simbolico quale comoda rappresentazione in campo complesso di grandezze fisiche reali oscillanti come, in particolare, le grandezze elettriche, tensione o corrente.

Un'onda sinusoidale ${\displaystyle v(t)}$ è caratterizzata da un'ampiezza ${\displaystyle V_{\max }}$, una frequenza ${\displaystyle f}$ e una fase iniziale ${\displaystyle \phi _{0}}$. Alla frequenza, grandezza pari all'inverso del periodo ${\displaystyle T}$ dell'onda, è possibile associare una pulsazione ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ tale per cui l'equazione dell'onda allora risulta:^[2]

${\displaystyle v(t)=V_{\max }\cos(\omega t+\phi _{0})}$

Nell'analisi dei circuiti elettrici in corrente alternata è necessario effettuare diverse operazioni algebriche tra sinusoidi, allora per semplificare i calcoli è possibile associare univocamente a ogni onda sinusoidale un numero complesso detto fasore. Si definisce allora un numero complesso tale che la sua parte reale sia pari alla funzione ${\displaystyle v(t)}$, e che abbia parte immaginaria tale da poter impiegare direttamente la formula di Eulero, essendo la parte reale una funzione coseno. Si determina allora il numero complesso:^[3]

${\displaystyle V_{\max }\cos(\omega t+\phi _{0})+jV_{\max }\sin(\omega t+\phi _{0})}$

In elettrotecnica l'unità immaginaria è indicata con la lettera ${\displaystyle j}$ al fine di evitare confusione con l'intensità di corrente, generalmente indicata con la lettera ${\displaystyle i}$. In un sistema di coordinate polari, tramite la formula di Eulero, il numero complesso appena ottenuto è riscrivibile come:^[3]

${\displaystyle V_{\max }e^{j(\omega t+\phi _{0})}=V_{\max }e^{j\phi _{0}}e^{j\omega t}}$

Sul piano complesso è possibile rappresentare ${\displaystyle V_{\max }e^{j\phi _{0}}=V_{\max }(\cos {\phi _{0}}+j\sin {\phi _{0}})}$ come un vettore di modulo ${\displaystyle V_{\max }}$ sfasato rispetto all'asse reale di angolo ${\displaystyle \phi _{0}}$. Siccome però il numero ottenuto è ${\displaystyle V_{\max }e^{j(\omega t+\phi _{0})}}$ si ha che lo sfasamento con l'asse reale varia di un fattore ${\displaystyle \omega t}$, si ha così nel piano complesso un vettore di che ruota in senso antiorario a velocità angolare ${\displaystyle \omega }$. Date queste proprietà il numero ottenuto è definito vettore rotante. Se le operazioni algebriche sono da effettuare su circuiti lineari caratterizzati da tensioni e correnti alternate di uguale frequenza allora è conveniente definire il fasore ${\displaystyle {\bar {V}}}$ come un vettore sul piano complesso di modulo pari al valore efficace ${\displaystyle V}$ della sinusoide (grandezza tale che ${\displaystyle V_{\max }={\sqrt {2}}V}$) e fase ${\displaystyle \phi _{0}}$.^[3]

${\displaystyle {\bar {V}}=Ve^{j\phi _{0}}}$

La corrispondenza tra sinusoide e fasore allora è:^[4]

${\displaystyle v(t)={\sqrt {2}}\,\mathrm {Re} ({\bar {V}}e^{j\omega t})}$

In modo del tutto equivalente, definito il fasore complesso coniugato ${\displaystyle {\bar {V}}^{*}=Ve^{-j\phi _{0}}}$si ha che:

${\displaystyle v(t)={1 \over {\sqrt {2}}}({\bar {V}}e^{j\omega t}+{\bar {V}}^{*}e^{-j\omega t})}$

Definito il fasore ${\displaystyle {\bar {V}}_{1}=V_{1}e^{j\phi _{1}}=V_{1}\cos {\phi _{1}}+jV_{1}\sin {\phi _{1}}}$ e in modo analogo ${\displaystyle {\bar {V}}_{2}}$ allora la somma tra i due è:^[5]

${\displaystyle {\bar {V}}_{1}+{\bar {V}}_{2}=V_{1}\cos {\phi _{1}}+V_{2}\cos {\phi _{2}}+j(V_{1}\sin {\phi _{1}}+V_{2}\sin {\phi _{2}})}$

Per estensione la sommatoria di ${\displaystyle n}$ fasori è:^[5]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\bar {V}}_{k}=\sum _{k=1}^{n}{V}_{k}\cos {\phi _{k}}+j\sum _{k=1}^{n}{V}_{k}\sin {\phi _{k}}}$

La differenza è realizzabile come la somma di fasori opposti:

${\displaystyle {\bar {V}}_{1}-{\bar {V}}_{2}={\bar {V}}_{1}+(-{\bar {V}}_{2})}$

Definiti i fasori ${\displaystyle {\bar {V}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\bar {V}}_{2}}$ allora il loro prodotto è:

${\displaystyle {\bar {V}}_{1}\cdot {\bar {V}}_{2}=V_{1}V_{2}e^{j(\phi _{1}+\phi _{2})}=V_{1}V_{2}(\cos {(\phi _{1}+\phi _{2})}+j\sin {(\phi _{1}+\phi _{2})})}$

Per estensione la produttoria di ${\displaystyle n}$ fasori è:

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}{\bar {V}}_{k}=\prod _{k=1}^{n}{V}_{k}e^{j\sum _{k=1}^{n}\phi _{k}}}$

Considerati i fasori ${\displaystyle {\bar {V}}_{1}}$ e ${\displaystyle {\bar {V}}_{2}}$ allora il loro rapporto è:

${\displaystyle {{\bar {V}}_{1} \over {\bar {V}}_{2}}={V_{1} \over V_{2}}e^{j(\phi _{1}-\phi _{2})}}$

Considerato il numero complesso coniugato ${\displaystyle {\bar {V}}_{2}^{*}=V_{2}e^{-j\phi _{0}}}$ allora il prodotto coniugato è:

${\displaystyle {\bar {V}}_{1}\cdot {\bar {V}}_{2}^{*}=V_{1}V_{2}e^{j(\phi _{1}-\phi _{2})}}$

In particolare se ${\displaystyle {\bar {V}}_{1}={\bar {V}}_{2}={\bar {V}}}$ allora:

${\displaystyle {\bar {V}}\cdot {\bar {V}}^{*}=V^{2}}$

Considerato il fasore ${\displaystyle {\bar {V}}=Ve^{j\phi _{0}}}$ e il suo vettore rotante associato ${\displaystyle {\sqrt {2}}{\bar {V}}e^{j\omega t}}$ allora simbolicamente si indica la derivata del fasore come il fasore della derivata del vettore rotante:

${\displaystyle {d \over dt}{\sqrt {2}}{\bar {V}}e^{j\omega t}={\sqrt {2}}{\bar {V}}j\omega e^{j\omega t}\rightarrow {d{\bar {V}} \over dt}=j\omega {\bar {V}}}$

Siccome ${\displaystyle j\omega {\bar {V}}=\omega Ve^{j{(\phi _{0}+{\pi \over 2})}}}$ allora la derivazione moltiplica il modulo di un fattore ${\displaystyle \omega }$ e introduce uno sfasamento in ritardo di ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$.

Analogamente per l'integrale:

${\displaystyle \int {\sqrt {2}}{\bar {V}}e^{j\omega t}dt={\sqrt {2}}{{\bar {V}} \over j\omega }e^{j\omega t}\rightarrow \int {\bar {V}}dt={{\bar {V}} \over j\omega }}$

Siccome ${\displaystyle {\tfrac {\bar {V}}{j\omega }}={\tfrac {V}{\omega }}e^{j{(\phi _{0}-{\pi \over 2})}}}$ allora l'integrazione moltiplica il modulo di un fattore ${\displaystyle {\tfrac {1}{\omega }}}$ e introduce uno sfasamento in anticipo di ${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}}}$.

Considerato un resistore di resistenza ${\displaystyle R}$ su cui è applicata una corrente alternata ${\displaystyle i(t)}$ allora per la legge di Ohm la tensione ${\displaystyle v(t)}$ sul resistore è:

${\displaystyle v(t)=Ri(t)\ }$

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

${\displaystyle {\sqrt {2}}Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}=R{\sqrt {2}}Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}}$

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è ${\displaystyle V=RI}$ mentre la fase è ${\displaystyle \phi _{v}=\phi _{i}}$. In termini di fasori allora:

${\displaystyle {\bar {V}}=R{\bar {I}}}$

La relazione costitutiva dell'induttore è:

${\displaystyle v(t)=L{\frac {di(t)}{dt}}}$

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

${\displaystyle {\sqrt {2}}Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}=L{d \over dt}{\sqrt {2}}Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}={\sqrt {2}}j\omega LIe^{j(\omega t+\phi _{i})}={\sqrt {2}}\omega LIe^{j(\omega t+\phi _{i}+{\pi \over 2})}}$

In particolare si nota che il valore efficace della tensione è ${\displaystyle V=\omega LI}$ mentre la fase è ${\displaystyle \phi _{v}=\phi _{i}+{\pi \over 2}}$, si ha quindi che la corrente è in ritardo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

${\displaystyle {\bar {V}}=j\omega L{\bar {I}}}$

La relazione costitutiva del condensatore è:

${\displaystyle i(t)=C{dv(t) \over dt}}$

Associati i rispettivi vettori rotanti allora la relazione diventa:

${\displaystyle {\sqrt {2}}Ie^{j(\omega t+\phi _{i})}=C{d \over dt}{\sqrt {2}}Ve^{j(\omega t+\phi _{v})}={\sqrt {2}}j\omega CVe^{j(\omega t+\phi _{v})}={\sqrt {2}}\omega CVe^{j(\omega t+\phi _{v}+{\pi \over 2})}}$

In particolare si nota che il valore efficace della corrente è ${\displaystyle I=\omega CV}$ mentre la fase è ${\displaystyle \phi _{i}=\phi _{v}+{\pi \over 2}}$, si ha quindi che la corrente è in anticipo rispetto alla tensione. In termini di fasori allora:

${\displaystyle {\bar {I}}=j\omega C{\bar {V}}}$

• Cesare Mario Arturi, Elettrotecnica 1: Reti elettriche e magnetiche, introduzione alla conversione magnetica, 2ª ed., Bologna, Società Editrice Esculapio, 2017 [2007], ISBN 978-88-7488-389-9.
• Andrea Cristofolini, Grandezze periodiche (PDF), Università degli Studi di Bologna.

• Metodo simbolico
• Corrente alternata

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