Legge della varianza totale

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La legge della varianza totale è un teorema della teoria della probabilità, che afferma che se ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ sono variabili casuali definite sul medesimo spazio di probabilità, e la varianza di ${\displaystyle x}$ è finita, allora:

${\displaystyle \ \sigma ^{2}(x)=\mathbb {E} [\sigma ^{2}(x|y)]+\sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])}$

dove ${\displaystyle \mathbb {E} [x|y]}$ è il valore atteso condizionato di x, e ${\displaystyle \sigma ^{2}(x|y)}$ la varianza condizionata, ovvero:

${\displaystyle \ \sigma ^{2}(x|y)=\mathbb {E} [(x-\mathbb {E} [x|y])^{2}|y]}$

Dal punto di vista della statistica più che della teoria della probabilità, il primo termine è detto componente non spiegata della varianza totale, e il secondo è la componente spiegata; tale suggestiva terminologia si ricollega all'analisi del modello lineare, e in particolare al coefficiente di determinazione, o R².

La legge della varianza totale può essere immediatamente dimostrata sfruttando la legge delle aspettative iterate, come segue.

${\displaystyle \ \sigma ^{2}(x)=\mathbb {E} [x^{2}]-(\mathbb {E} [x])^{2}=}$

${\displaystyle \ =\mathbb {E} [\mathbb {E} [x^{2}|y]]-(\mathbb {E} [\mathbb {E} [x|y]])^{2}=}$

${\displaystyle \ =\mathbb {E} [\sigma ^{2}(x|y)]+\mathbb {E} [(\mathbb {E} [x|y])^{2}]-(\mathbb {E} [\mathbb {E} [x|y]])^{2}=}$

${\displaystyle \ =\mathbb {E} [\sigma ^{2}(x|y)]+\sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])}$

La legge della varianza totale presenta un'importante relazione con il modello di regressione lineare. Nel caso univariato, il modello lineare può essere enunciato come:

${\displaystyle \ \mathbb {E} [x|y]=\alpha +\beta y}$

Si ha in tal caso che il rapporto di covarianza:

${\displaystyle \ \beta ={\frac {\sigma (y,x)}{\sigma ^{2}(y)}}}$

Ma allora, la componente spiegata della varianza totale altro non è che:

${\displaystyle \ \sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])=\beta ^{2}\sigma ^{2}(y)={\frac {\sigma ^{2}(y,x)}{\sigma ^{2}(y)}}}$

così che il rapporto tra l'espressione sopra e ${\displaystyle \ \sigma ^{2}(x)}$ è il quadrato del coefficiente di correlazione tra ${\displaystyle \ x}$ e ${\displaystyle \ y}$:

${\displaystyle \rho ^{2}(y,x)={\frac {\sigma ^{2}(\mathbb {E} [x|y])}{\sigma ^{2}(x)}}={\frac {\sigma ^{2}(y,x)}{\sigma ^{2}(y)\sigma ^{2}(x)}}}$

Tale grandezza corrisponde in effetti al coefficiente di determinazione R². È possibile ottenere un'analoga relazione nel caso multivariato.

Esistono relazioni analoghe alla legge della varianza totale e alla legge delle aspettative iterate per i momenti centrali di ordine superiore. Ad esempio, con riferimento al momento centrale di ordine 3, si ha:

${\displaystyle \ \mu _{3}(x)=\mathbb {E} [\mu _{3}(x|y)]+\mu _{3}(\mathbb {E} [x|y])+3\sigma (\mathbb {E} [x|y],\sigma ^{2}(x|y))}$

• Teorema della probabilità totale
• Legge delle aspettative iterate
• Regressione lineare

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