Reticolo reciproco

In geometria e in cristallografia il reticolo reciproco del reticolo di Bravais è un insieme di vettori ${\displaystyle \mathbf {k} }$ che generano un reticolo di Bravais nello spazio dei momenti. L'onda piana il cui vettore d'onda sia ${\displaystyle \mathbf {k} }$ ha la stessa periodicità del reticolo di partenza.

Consideriamo un set di punti ${\displaystyle \mathbf {R} \ }$ che costituiscono un reticolo di Bravais ed un'onda piana definita da ${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\ }$. Tale onda piana per alcuni valori di ${\displaystyle \mathbf {k} \ }$ ha la periodicità del reticolo di Bravais. L'insieme dei vettori d'onda ${\displaystyle \mathbf {K} \ }$ che descrive onde piane con la periodicità di un dato reticolo di Bravais si chiama reticolo reciproco. Tale condizione da un punto di vista algebrico corrisponde a scrivere:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot (\mathbf {r} +\mathbf {R} )}=e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}$

Dovendo tale relazione valere per qualsiasi ${\displaystyle \mathbf {r} \ }$ segue che l'insieme dei vettori del reticolo reciproco soddisfa la relazione:

${\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}$

per tutti i punti R del reticolo di Bravais.

Ad ogni reticolo di Bravais possiamo associare un reticolo reciproco in maniera univoca. Il reticolo di Bravais che determina un certo reticolo reciproco è spesso chiamato reticolo diretto, quando considerato assieme al suo reciproco. Il reticolo reciproco è anche un reticolo di Bravais nello spazio dei vettori d'onda. Il reticolo reciproco del reticolo reciproco è il reticolo di Bravais originale.

Essendo il reticolo reciproco un reticolo di Bravais, possiamo scrivere da un punto di vista algebrico che:

${\displaystyle \mathbf {K} =m_{1}\mathbf {b} _{1}+m_{2}\mathbf {b} _{2}+m_{3}\mathbf {b} _{3}}$

dove ${\displaystyle m_{i}\ }$ sono numeri interi e ${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\ }$ sono i vettori primitivi del reticolo reciproco. I vettori del reticolo reciproco hanno la dimensione di una ${\displaystyle {\text{lunghezza}}^{-1}\ }$.

Per un reticolo infinito tridimensionale definito dai suoi vettori primitivi ${\displaystyle (\mathbf {a_{1}} ,\mathbf {a_{2}} ,\mathbf {a_{3}} )}$, (che non sono univoci) esiste un algoritmo semplice che permette di ricavare i vettori primitivi dello spazio reciproco:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$

${\displaystyle \mathbf {b_{2}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{3}} \times \mathbf {a_{1}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}}$

${\displaystyle \mathbf {b_{3}} =2\pi {\frac {\mathbf {a_{1}} \times \mathbf {a_{2}} }{\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )}}.}$

I vettori del reticolo reciproco sono legati alle famiglie di piani reticolari.

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto

${\displaystyle \mathbf {a_{1}} =a\mathbf {i} \qquad \mathbf {a_{2}} =a\mathbf {j} \qquad \mathbf {a_{3}} =a\mathbf {k} }$

Allora essendo:

${\displaystyle V=\mathbf {a_{1}} \cdot (\mathbf {a_{2}} \times \mathbf {a_{3}} )=a^{3}\ }$

i vettori primitivi dello spazio reciproco sono:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {i} \qquad \mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {j} \qquad \mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}\mathbf {k} }$

Cioè il reticolo reciproco è cubico semplice come il reticolo dello spazio diretto, ma con passo reticolare ${\displaystyle 2\pi /a\ }$.

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto (tale scelta è quella più simmetrica):

${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {a_{2}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {a_{3}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} )\ }$

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\ }$

Se si scelgono come vettori primitivi dello spazio diretto:

${\displaystyle \mathbf {a_{1}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {a_{2}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {a_{3}} ={\frac {a}{2}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} )\ }$

in questo caso i vettori primitivi del reticolo reciproco saranno:

${\displaystyle \mathbf {b_{1}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {b_{2}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} )\ }$

${\displaystyle \mathbf {b_{3}} ={\frac {2\pi }{a}}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} )\ }$

Cioè il reticolo reciproco dell'fcc è un bcc, mentre del bcc è un fcc, entrambi con passo reticolare ${\displaystyle 4\pi /a\ }$.

• Neil W. Ashcroft e N. David Mermin, Solid State Physics, Holt-Saunders Japan, 1976, ISBN 0-03-049346-3.

• Reticolo di Bravais
• Cristallo
• Cristallografia
• Sistema cristallino

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Reticolo reciproco

• (EN) Dissemination of IT for the Promotion of Materials Science (DoITPoMS), "Reciprocal Space", su doitpoms.ac.uk.

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