Riemann-Siegel-formule

De Riemann-Siegel-formule is in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, een asymptotische formule voor de fout in de benadering van de functionaalvergelijking van de Riemann-zèta-functie, een benadering van de zèta-functie door een eindige som van twee eindige Dirichletreeksen.

De Riemann-Siegel-formule werd in 1932 door Carl Ludwig Siegel gevonden in een verzameling ongepubliceerde manuscripten van Bernhard Riemann uit de jaren 1850. Siegel leidde de formule af van de Riemann-Siegel-integraalformule, een expressie voor de zèta-functie waarin gebruik wordt gemaakt van contourintegralen. Ze wordt vaak gebruikt om waarden van de Riemann-Siegel-formule te berekenen, soms in combinatie met het algoritme van Odlyzko-Schönhage, dat de berekening aanzienlijk versnelt. Wanneer gebruikt langs de kritieke lijn, is het vaak nuttig de formule in een vorm te gebruiken, waarin het een formule voor de Z-functie wordt.

Als M {\displaystyle M} en N {\displaystyle N} niet-negatieve gehele getallen zijn, dan is de zèta-functie gelijk aan

ζ ( s ) = ∑ n = 1 N 1 n s + γ ( 1 − s ) ∑ n = 1 M 1 n 1 − s + R ( s ) {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}+\gamma (1-s)\sum _{n=1}^{M}{\frac {1}{n^{1-s}}}+R(s)}

waar

γ ( s ) = π 1 2 − s Γ ( s 2 ) Γ ( 1 2 ( 1 − s ) ) {\displaystyle \gamma (s)=\pi ^{{\tfrac {1}{2}}-s}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(1-s)\right)}}}

de factor is die verschijnt in de functionele vergelijking ζ(s) = γ(s) ζ(1 − s) en waarin

R ( s ) = − Γ ( 1 − s ) 2 π i ∫ ( − x ) s − 1 e − N x e x − 1 d x {\displaystyle R(s)={\frac {-\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int {\frac {(-x)^{s-1}e^{-Nx}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}

een contourintegraal is, waarvan de contour begint en eindigt op +∞ en de singulariteiten van de absolute waarde op ten hoogste 2πM omcirkelt. De geschatte functionaalvergelijking geeft een schatting van de grootte van de foutterm. Siegel en Edwards[1] leiden de Riemann-Siegel-formule hieruit af door op deze integraal de methode van de steilste afdaling toe te passen om zo een asymptotische expansie van de foutterm R ( s ) {\displaystyle R(s)} te geven als een reeks van negatieve machten van I m ( s ) {\displaystyle \mathrm {Im} (s)} . In toepassingen ligt s {\displaystyle s} meestal op de kritieke lijn, en worden de positieve gehele getallen M {\displaystyle M} en N {\displaystyle N} gekozen om over 2πIm(s)1/2.Gabcke[2] vond in 1979 goede begrenzingen voor de fout in de Riemann-Siegel-formule.

Integraalformule van Riemann

Riemann liet zien dat

∫ 0 ↘ 1 e − i π u 2 + 2 π i p u e π i u − e − π i u d u = e i π p 2 − e i π p e i π p − e − i π p {\displaystyle \int _{0\searrow 1}{\frac {e^{-i\pi u^{2}+2\pi ipu}}{e^{\pi iu}-e^{-\pi iu}}}\,\mathrm {d} u={\frac {e^{i\pi p^{2}}-e^{i\pi p}}{e^{i\pi p}-e^{-i\pi p}}}}

waar de contour van de integratie een lijn is met helling –1 die tussen 0 en 1 passeert (Edwards, 1974, 7.9)

Hij gebruikte dit resultaat om de onderstaande integraalformula voor de zèta-functie te geven:

π − s 2 Γ ( s 2 ) ζ ( s ) = π − s 2 Γ ( s 2 ) ∫ 0 ↙ 1 x − s e π i x 2 e π i x − e − π i x d x + π − 1 − s 2 Γ ( 1 − s 2 ) ∫ 0 ↘ 1 x s − 1 e − π i x 2 e π i x − e − π i x d x {\displaystyle \pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-{\tfrac {s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {s}{2}}\right)\int _{0\swarrow 1}{\frac {x^{-s}e^{\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,\mathrm {d} x+\pi ^{-{\frac {1-s}{2}}}\Gamma \left({\tfrac {1-s}{2}}\right)\int _{0\searrow 1}{\frac {x^{s-1}e^{-\pi ix^{2}}}{e^{\pi ix}-e^{-\pi ix}}}\,\mathrm {d} x}

Voetnoten

  1. ↑ Siegel, 1932 en Edwards, 1974
  2. ↑ Gabcke, 1979

Bronvermelding

  • Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Riemann–Siegel formula op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.

Referenties

  • Berry, Michael V., The Riemann–Siegel expansion for the zeta function: high orders and remainders, 1995, Proceedings of the Royal Society. London. series A, Mathematical, Physical and Engineering Sciences, ISSN 0962-8444, Vol: 450, Issue 1939, blz. 439–462
  • Edwards, H.M., Riemann's zeta function, Pure and Applied Mathematics, vol 58, New York-London, Academic Press, 1974, ISBN 0-12-232750-0
  • Wolfgang Gabcke, 1979, Georg-August-Universität Göttingen, Neue Herleitung und Explizite Restabschätzung der Riemann-Siegel-Formel
  • Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol: 14, Cambridge, Cambridge University Press, 1988, ISBN 0-521-33535-3
  • Siegel C.L., Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie, Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. und Phys. Abt. B: Studien 2, blz. 45–80, 1932, herdrukt in Gesammelte Abhandlungen, Vol. 1. Berlin: Springer-Verlag, 1966.

Externe links

  • X. Gourdon, Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function
  • Riemann–Siegel-formule op Mathworld