Conjunto perfeito

Na matemática, em especial, na topologia, um conjunto perfeito é um conjunto fechado formado apenas por pontos de acumulação.^[1] Equivalentemente, um conjunto é dito perfeito se for fechado e não possui pontos isolados. Com isto temos que todo ponto de um conjunto perfeito pode ser aproximado por outros pontos deste mesmo conjunto perfeito, isto é, dados um ponto e uma vizinhança deste, existe um outro ponto nesta vizinhança.

Exemplos

Conjunto dos reais

O conjunto ${\displaystyle \mathbb {R} }$ dos números reais é um conjunto perfeito.

Demonstração.

É sabido que ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é um conjunto fechado, portanto, basta mostrarmos que este não contém pontos isolados. Para tal, considere ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle \epsilon >0}$, temos que ${\displaystyle {\frac {x+\epsilon }{2}}\in \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle {\frac {x+\epsilon }{2}}}$ está na vizinhança de ${\displaystyle x}$ com raio ${\displaystyle \epsilon }$. Logo, temos que ${\displaystyle x}$ não é um ponto isolado. Portanto, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ é um conjunto perfeito.

Intervalos fechados

Todo intervalo fechado ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ é um conjunto perfeito.

Demonstração

Dado um intervalo fechado ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$, temos que ${\displaystyle I}$ não contém pontos isolados, pois caso contrário ${\displaystyle \mathbb {R} }$ conteria pontos isolados. Logo, ${\displaystyle I}$ é um conjunto perfeito.

Teorema

Dado um ponto ${\displaystyle x}$ de um conjunto perfeito ${\displaystyle P}$, temos que existe uma sequência ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ tal que, ${\displaystyle x_{n}\in P\setminus \{x\}}$, para todo ${\displaystyle n}$ inteiro positivo e ${\displaystyle x_{n}\longrightarrow x}$.

Demonstração

Como todo ponto de ${\displaystyle P}$ é ponto limite, o resultado segue imediatamente. Porém, podemos construir tal sequência da seguinte forma. Dado ${\displaystyle \epsilon _{1}}$, temos que existe ${\displaystyle x_{1}\in V_{\epsilon _{1}}(x)\cap P\setminus \{x\}}$. Indutivamente, dado um inteiro positivo ${\displaystyle k}$, seja ${\displaystyle \epsilon _{k}={\frac {\epsilon _{k-1}}{2}}}$, temos que existe ${\displaystyle x_{k}\in V_{\epsilon _{k}}(x)\cap P\setminus \{x\}}$. Note que a sequência ${\displaystyle \{\epsilon _{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ converge para zero, o que implica que, para dado ${\displaystyle \epsilon >0}$, existe um inteiro positivo ${\displaystyle N}$ tal que, para todo ${\displaystyle n>N}$, ${\displaystyle \epsilon _{n}<\epsilon }$. Porém, como ${\displaystyle \|x_{n}-x\|<\epsilon _{n}}$, temos que ${\displaystyle \|x_{n}-x\|<\epsilon }$, o que garante que ${\displaystyle x_{n}\longrightarrow x}$.

Teorema

Se um conjunto ${\displaystyle P}$ é perfeito em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ e não é um conjunto vazio, então ${\displaystyle P}$ não é enumerável.

Demonstração

Como ${\displaystyle P}$ é perfeito, temos que ${\displaystyle P}$ é formado por pontos limites, de modo que ${\displaystyle P}$ é um conjunto infinito. Suponhamos, por absurdo, que ${\displaystyle P}$ seja um conjunto enumerável. Considere, portanto, ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$, seus elementos. Considere ${\displaystyle V_{1}=\{y\in \mathbb {R} ^{k}:\|y-x_{1}\|<r\}}$, de modo que o fecho de ${\displaystyle V_{1}}$ é ${\displaystyle {\bar {V}}_{1}=\{y\in \mathbb {R} ^{k}:\|y-x_{1}\|\leq r\}}$. Considere, para os inteiros ${\displaystyle n\geq 1}$, as vizinhanças ${\displaystyle V_{n+1}}$ satisfazendo o seguinte.

(i) ${\displaystyle {\bar {V}}_{n+1}\subset V_{n}}$.

(ii) ${\displaystyle x_{n}\notin {\bar {V}}_{n+1}}$.

(iii) ${\displaystyle V_{n+1}\cap P\neq \emptyset }$.

O item (iii) garante que esta construção pode ser feita indutivamente.

Agora, considere ${\displaystyle K_{n}={\bar {V}}_{n}\cap P}$. Como ${\displaystyle {\bar {V}}_{n}}$ é fechado e limitado, temos que ${\displaystyle {\bar {V}}_{n}}$ é um conjunto compacto. Como ${\displaystyle x_{n}\notin K_{n+1}}$, temos que nenhum ponto de ${\displaystyle P}$ pertence a ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }K_{n}}$. Como ${\displaystyle K_{n}\subset P}$, temos que ${\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }K_{n}=\emptyset }$. Porém, pelo item (iii) temos que ${\displaystyle K_{n}\neq \emptyset }$, pelo item (i) temos que ${\displaystyle K_{n+1}\subset K_{n}}$. Porém, isto é uma contradição.

Referências