Teorema de Cauchy–Hadamard

Em matemática, o teorema de Cauchy-Hadamard é o resultado de uma análise complexa (nome em homenagem aos matemáticos franceses Augustin Louis Cauchy e Jacques Hadamard) descrevendo o raio de convergência de uma série de potências . Foi publicado em 1821 por Cauchy ^[1],mas permaneceu relativamente desconhecido até que Hadamard o redescobriu ^[2]. A primeira publicação de Hadamard desse resultado foi em 1888 ^[3]; ele também o incluiu como parte de sua tese de Ph.D. de 1892.^[4]

Teorema para uma variável complexa

Considere a série formal de potências em uma variável complexa z da forma:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

Onde ${\displaystyle a,c_{n}\in \mathbb {C} .}$

Então o raio de convergência ${\displaystyle R}$ de ƒ no ponto a é dado por:

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }{\big (}|c_{n}|^{1/n}{\big )}}$

onde lim sup denota o limite superior, o limite quando n se aproxima do infinito do supremo dos valores da sequência após a n-ésima posição. Se os valores da sequência são ilimitados de modo que o limite superior seja infinito, então a série de potências não converge para perto de a, enquanto que se o limite superior for 0 então o raio de convergência é infinito, significando que a série converge em todo o plano.^[5]

Prova

Sem perda de generalidade, assuma que ${\displaystyle a=0}$ . Mostraremos primeiro que a série de potências ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ converge para ${\displaystyle |z|<R}$, e então que diverge para ${\displaystyle |z|>R}$.

Primeiro suponha ${\displaystyle |z|<R}$ . Deixe ${\displaystyle t=1/R}$ não ser ${\displaystyle 0}$ ou ${\displaystyle \pm \infty .}$ Para qualquer ${\displaystyle \varepsilon >0}$, existe apenas um número finito de ${\displaystyle n}$ de tal modo que ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\geq t+\varepsilon }$ . Agora ${\displaystyle |c_{n}|\leq (t+\varepsilon )^{n}}$ para todos, exceto um número finito de ${\displaystyle c_{n}}$, então a série ${\displaystyle \sum c_{n}z^{n}}$ converge se ${\displaystyle |z|<1/(t+\varepsilon )}$ . Isso prova a primeira parte.

Por outro lado, para ${\displaystyle \varepsilon >0}$, ${\displaystyle |c_{n}|\geq (t-\varepsilon )^{n}}$ para infinitamente muitos ${\displaystyle c_{n}}$, então se ${\displaystyle |z|=1/(t-\varepsilon )>R}$, vemos que a série não pode convergir porque o seu n-ésimo termo não tende a 0.^[5]

Teorema para várias variáveis complexas

Deixe ${\displaystyle \alpha }$ ser um índice múltiplo (um n de inteiros) com ${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$, então ${\displaystyle f(x)}$ converge com raio de convergência ${\displaystyle \rho }$ (que também é um índice múltiplo) se e somente se

${\displaystyle \lim _{|\alpha |\to \infty }{\sqrt[{|\alpha |}]{|c_{\alpha }|\rho ^{\alpha }}}=1}$

para a série de potência multidimensional

${\displaystyle \sum _{\alpha \geq 0}c_{\alpha }(z-a)^{\alpha }:=\sum _{\alpha _{1}\geq 0,\ldots ,\alpha _{n}\geq 0}c_{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}(z_{1}-a_{1})^{\alpha _{1}}\cdots (z_{n}-a_{n})^{\alpha _{n}}}$

A prova pode ser encontrada em.^[6]

Notas

Referências

Ligações externas

• Weisstein, Eric W. «Cauchy-Hadamard theorem» (em inglês). MathWorld