Jedinični krug

Jedinični krug je definisan kao krug sa centrom u koordinatnom početku i poluprečnikom (radijusom) ${\displaystyle r=1}$ i čiji se centar u koordinatnom početku (0,0. Jedinični krug siječe x-osu u tačkama ${\displaystyle (-1,0)}$ i ${\displaystyle (1,0)}$ i y-osu u tačkama ${\displaystyle (0,1)}$ i ${\displaystyle (0,-1)}$.

Ortogonalna projekcija tačke ${\displaystyle A(x,y)}$ na x osu je ${\displaystyle A_{1}(x,0)}$, a na y- osu ${\displaystyle A_{2}(0,y)}$. Duži ${\displaystyle OA_{1}}$ i ${\displaystyle OA_{2}}$ su katete pravouglog trougla ${\displaystyle OA_{1}A_{2}}$ čije su dužine x i y.

${\displaystyle cos\theta }$ je horizontalna a ${\displaystyle sin\theta }$ vertikalna dužina. Ugao ${\displaystyle \theta }$ je u standardnom položaju. Na osnovu definicije funkicje sinus i kosinus dobijamo sljedeće jednakosti:

${\displaystyle sin\theta =y/1=y}$

${\displaystyle cos\theta =x/1=x}$

${\displaystyle tg\theta =y/x}$

Ako su (x, y) tačke na kružnici jediničnog kruga u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravouglog trougla (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (poluprečnik) 1. Prema Pitagorinoj teoremi x i y zadovoljavajujednačinu

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

Pošto je ${\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}}$ prethodna jednačina važi za sve tačke (x, y) na jediničnom krugu, ne samo za prvi kvadrant.

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravouglih trougla mogu se prikazati odnosi između koordinata i uglova na jediničnom krugu. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu biti definisane na jediničnom krugu na sljedeći način. Ako je (x, y) tačka na jediničnom krugu i ako duž iz koordinatnog početka do tačke (x, y) čini ugao t sa pozitivnim dijelom x-ose (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada važi:

${\displaystyle cos\theta =x}$

${\displaystyle sin\theta =y}$

Jednačina ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ daje poznatu relaciju

${\displaystyle cos^{2}\theta +sin^{2}\theta =1}$

Jedinični krug takođe daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

${\displaystyle \cos t=\cos(2k\pi +\theta )\,\!}$

${\displaystyle \sin t=\sin(2k\pi +\theta )\,\!}$

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate tačke na krugu ostaju iste ako ugao t napravi bilo koji broj obrtaja (1 obrtaj = ${\displaystyle 2\pi }$ radijana).

Kada se radi sa pravouglim trouglovima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je ugao veći od 0 i manji od ${\displaystyle \pi /2}$. Koristeći jedinični krug, ove funkcije dobijaju smisao za bilo koju realnu vrijednost ugla. Ako je tačka A tačka jediničnog kruga onda su njene koordinate

${\displaystyle A(0)=A(2\pi )=(1,0)}$

${\displaystyle A(\pi /2)=(0,1)}$

${\displaystyle A(\pi )=(-1,0)}$

Druge tačke su određene koordinatama ${\displaystyle \left({\tfrac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\tfrac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

Zamjenom ${\displaystyle t=p/q}$ dobijamo pitagorine trojke ${\displaystyle (q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})}$.

U kompleksnoj ravni jedinični krug predstavljen je skupom ${\displaystyle G\subset \mathbb {C} }$

${\displaystyle G=\{z:\mathrm {Re} \{z\}^{2}+\mathrm {Im} \{z\}^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}}$

• Ugao

Unit Circle

Jedinični krug Arhivirano 2016-07-20 na Wayback Machine-u

Jedinični krug na Wikimedijinoj ostavi