| Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-04) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan. |
- Den här artikeln handlar om den matematiska heltalsföljden. För det dimensionslösa talet, se Eulertal (fysik).
Eulertalen är heltalsföljd som förekommer i samband med Taylorserier samt i talteori och kombinatorik. Dessvärre finns flera olika konventioner för vad som avses med det n-te Eulertalet: ofta tar man med nollor och negativa tecken i sekvensen, för vilket beteckningen En kommer att användas i följande text, medan man i andra tillämpningar bara är intresserad av de nollskilda Eulertalens absolutvärden (här E*n). Med nämnda beteckningar gäller
- E*1 = 1
- E*2 = 5
- E*3 = 61
- E*4 = 1385
- E*5 = 50521
- E*6 = 2702765
- E*7 = 199360981
- E*8 = 19391512145
- E*9 = 2404879675441
- E*10 = 370371188237525
- E*11 = 69348874393137901
(talföljd A000364 i OEIS) | - E0 = 1
- E2 = −1
- E4 = 5
- E6 = −61
- E8 = 1385
- E10 = −50521
- E12 = 2702765
- E14 = −199360981
- E16 = 19391512145
-
- E1, 3, 5, ... = 0
(talföljd A122045 i OEIS) |
och sambandet
![{\displaystyle E_{2n}=(-1)^{n}E_{n}^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7b763c6a4937315b067b1303d66a4dd3b998324)
Talen definieras av de genererande funktionerna
![{\displaystyle \mathrm {sec} \;x=\sum _{k=0}^{\infty }|E_{k}|{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }E_{k}^{*}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d063fde06b42c56fb865e98ab5b3fada2afdca74)
![{\displaystyle \mathrm {sech} \;x=\sum _{k=0}^{\infty }E_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}E_{k}^{*}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+{\frac {277x^{8}}{8064}}-\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467852dc0fde1ea8bb4f6218178565ccdeeb75d9)
där sec betecknar den trigonometriska funktionen 1/cos och sech motsvarande hyperboliska funktion 1/cosh.
Eulertalen förekommer även som specifika värden för Eulerpolynomen.
Asymptotiskt växer talen som
![{\displaystyle E_{2n}\sim (-1)^{n}8{\sqrt {\,{\frac {n}{\pi }}}}\left({\frac {4n}{\pi e}}\right)^{2n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/370e582ee0bbefbe62145b2cf2f45d0ef7f04d3b)
De kan även beräknas med integralen
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\ln ^{n}(x)}{1+x^{2}}}\,dx=|E_{n}|\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{n+1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44ee381d85a63e4926ccb774a51b6d4e042c0aac)
Explicita formler
Ändlig summa
Eulertalen ges av formeln
![{\displaystyle E_{2n}=i\sum _{k=1}^{2n+1}\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}{\frac {(-1)^{j}(k-2j)^{2n+1}}{2^{k}i^{k}k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea8c292c12bc759201e955a1c5fe30702edb7c3)
där i är den imaginära enheten.
Determinant
E2n kan även definieras som determinanten
![{\displaystyle {\begin{aligned}E_{2n}&=(-1)^{n}(2n)!~{\begin{vmatrix}{\frac {1}{2!}}&1&~&~&~\\{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}&1&~&~\\\vdots &~&\ddots ~~&\ddots ~~&~\\{\frac {1}{(2n-2)!}}&{\frac {1}{(2n-4)!}}&~&{\frac {1}{2!}}&1\\{\frac {1}{(2n)!}}&{\frac {1}{(2n-2)!}}&\cdots &{\frac {1}{4!}}&{\frac {1}{2!}}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7fdbac6c55a0760f3163eeb56bcdc953d9f8151)
Se även